Observons maintenant une composée, ayant de préférence un grand capitule (carline acaule, tournesol) : la partie périphérique de ce capitule est formée de fleurs ligulées (en languettes), la partie centrale de fleurs élémentaires en tubes (ou, à maturité, de graines) qui dessinent des spirales. A la différence des hélices, qui s’inscrivent sur un cylindre, ces spirales sont plus ou moins planes. Si on compte les spires apparentes (parastiques) s’enroulant dans chaque sens, on trouvera la combinaison (21,34) ou (55,34), éventuellement (55,89) si le capitule est très grand. Si on masque la périphérie pour compter les spires plus près du centre, on obtiendra (21,13) ou même (8,13).

Ceci justifie l’opinion générale : les spirales et les hélices végétales sont probablement produites par un mécanisme très simple, au cours de la croissance du bourgeon, à l’apex du méristème terminal.

Ces structures ont beaucoup intrigué : le fait que les nombres de parastiques dextres et sénestres (ou directes et rétrogrades) ne soient pas égaux surprend : les structures symétriques les plus simples sont mathématiquement bien connues, et n’étonnent plus ; mais ici on trouve une dissymétrie apparente, qui cache peut-être une symétrie de nature différente. De plus, la grande régularité et la quasi-universalité des structures spiralées sont impressionnantes : on les observe sur tous les continents, aussi bien dans les familles les plus anciennes, comme les fougères arborescentes, les cycadacées ou les conifères, que dans les plus récentes, comme les composées.

Enfin, l’apparition insistante des nombres de Fibonacci est restée longtemps mystérieuse. Pour ces raisons, de nombreuses études leur ont été consacrées, afin d’analyser leur structure et de découvrir le mécanisme qui les engendre.

Sur ce capitule, on voit surtout le jeu de 21 spires senestres et le jeu de 34 spires dextres ; il faut un peu plus d’attention pour observer les 55 spires senestres qui commencent à se mettre en place à la périphérie, suivant la diagonale des mailles dessinées par les spires précédentes. Ce passage de la structure (21, 34) à la structure (55, 34) est très instructif !

Nous proposons une visualisation réalisée avec JavaScript.

Disposition des graines du tournesol.

Voici maintenant un capitule de Carlina acanthifolia, après floraison, vu par dessous (le "foin" est de l'autre côté) :

Utilisons de nouveau des couleurs pour faire apparaître les spires de la périphérie (34 dans un sens, 55 dans l'autre) :

A l'aide de ces spires d'ordre 34 et 55, évaluons la divergence de ce réseau spiralé. Plaçons-nous en un point où les deux jeux de spires sont bien visibles (donc pas trop près du centre) et dirigeons-nous vers l'extérieur en conservant au mieux l'alignement par rapport au centre (déplacement radial) :

Nous avons fait 5 pas en suivant les spires d'ordre 55 (ces pas sont représentés en rouge dans l'image ci-dessus), et 3 pas en suivant les spires d'ordre 34 (en vert). Donc x = 5 et y = 3.
F(n+1) = 55 ; F(n) = 34 ; F(n-1) = 21.
d = (x * F(n) + y * F(n-1)) / (x * F(n+1) + y * F(n)) = (5*34 + 3*21) / (5*55 + 3*34) = 233/377 = 0,61804 environ, ou 0,38196 (si on choisit le sens de rotation opposé).
La divergence en degrés est donc : 360° * 0,38196 = 137,5056°, soit 137° 30'.
Ceci correspond à la section d'or (avec un écart inférieur à 1').

Cette coïncidence peut sembler extraordinaire, à peine croyable ! Pourtant, la véritable question n'est pas de savoir pourquoi la divergence est proche de la section d'or (un réseau spiralé de type (34,55) a nécessairement une divergence proche de la section d'or), mais de savoir pourquoi la structure de ce réseau fait intervenir la suite de Fibonacci.
D'ailleurs la divergence n'est, en soi, qu'une abstraction mathématique, et le nombre d'or n' apparaît en botanique que comme une limite jamais atteinte ; au contraire, les contacts entre éléments (graines, fleurs, etc...) ont une réalité physique (et chimique ?), et ils s'ordonnent selon un réseau structuré : c'est sans doute là que se situe la clé du problème.
Les plantes sont des organismes éminemment structurés, et nous sommes ici en présence d'une structure bien particulière, qui ne peut être comprise qu'avec l'aide de l'outil approprié : les Mathématiques (car les Mathématiques sont précisément la science des structures, et non la science des nombres !).
Cette structure n'est pas seulement spatiale : elle est spatio-temporelle ; c'est-à-dire qu'on ne peut pas la comprendre sans étudier les mécanismes qui la génèrent, et la façon dont elle évolue et se transforme dans le temps.

Feuilles d'un Cycas : structure (8, 13)

Structure(21, 34) chez Pallenis spinosa