III)       Hélices régulières

a)     Définition

Nous nommons hélice régulière une suite de points (P_n) situés sur une surface cylindrique, et régulièrement espacés :

·              L’axe du cylindre étant supposé vertical, l’écart entre deux points successifs, selon la verticale, est constant : c’est le pas de l’hélice, ou entrenœud (e) ;

·              L’écart angulaire entre deux nœuds successifs est également constant : c’est la divergence (div).

Les coordonnées cylindriques du point P_n sont donc :          

 z (n) = n . e   (cote)     et  φ (n) = n . div  (azimut, défini modulo 1 tour, soit 2 π radians).

Le rayon du cylindre (r) , l’entrenœud (e) et la divergence (div) caractérisent l’hélice donnée.

b)    Sous-hélices

 D’une hélice régulière quelconque, on peut extraire une infinité de sous-hélices :

En sélectionnant un point sur deux, on obtient un jeu de deux sous-hélices d’ordre deux :

P₀, P₂, P₄, P₆, P₈, P₁₀, P₁₂, P₁₄,…

P₁, P₃, P₅, P₇, P₉, P₁₁, P₁₃, P₁₅,…

En sélectionnant un point sur trois, on obtient un jeu de trois sous-hélices d’ordre trois :

P₀, P₃, P₆, P₉ P₁₂, P₁₅, P₁₈, P₂₁,…

P₁, P₄, P₇, P₁₀, P₁₃, P₁₆, P₁₉, P₂₂,…

P₂, P₅, P₈, P₁₁, P₁₄, P₁₇, P₂₀, P₂₃,…

De même, il existe quatre sous-hélices d’ordre quatre, cinq sous-hélices d’ordre cinq, etc…

Au sens mathématique, toutes ces sous-hélices existent simultanément,  mais en pratique certaines d’entre elles sont plus visibles que d’autres : ce sont les plus serrées, c’est-à-dire celles pour lesquelles l’arc de courbe joignant deux points successifs est le plus court. Ces hélices qui captent le regard sont les parastiques actuelles ; les autres sont les parastiques potentielles.

Les parastiques actuelles forment deux jeux, l’un direct (0 < div < 1/2 , l’unité étant le tour), l’autre rétrograde     (-1/2 < div < 0).

Sur un cône de pin par exemple, on voit immédiatement les cinq parastiques d’ordre cinq et les huit parastiques d’ordre huit : la combinaison des parastiques actuelles est donc (8, 5) ; mais avec un peu plus d’attention on devine les treize parastiques potentielles d’ordre treize.

L’importance des parastiques actuelles serait faible s’il ne s’agissait que d’un effet d’optique ; mais chez les plantes elles sont souvent matérialisées par un contact direct (entre écailles d’un cône, fleurs d’un capitule…).

Pour comprendre plus précisément la structure d'une hélice végétale, observez l'applet 1 sur le Maillage cylindrique régulier, dans le chapitre XI.

Si vous voulez observer et manipuler une hélice régulière quelconque, voyez l'applet 2 (interactive).

c)   Actualisation des parastiques

Imaginons une hélice régulière qu’on serre comme un ressort : l’entrenœud décroît, tandis que le rayon et la divergence restent constants. On constate alors que les parastiques potentielles se modifient de manière différente : certaines d’entre elles se resserrent beaucoup plus vite que d’autres, et supplantent  les parastiques actuelles. Si on étudie l’ordre  d’actualisation des parastiques, on obtient une séquence qui est caractéristique de la divergence de l’hélice considérée.       

Connaissant la divergence, un algorithme simple (basé sur la suite de Farey, et sur l’ arbre de Stern-Brocot ) permet de calculer facilement la séquence d’actualisation des parastiques.

Pour plus de précisions sur la suite de Farey et sur l’arbre de Stern-Brocot : voir les liens en dernière page (compléments).

Prenons d’abord une  divergence égale à la section d’or :

div = 0,381966 tour, soit 137°30’.

 On obtient la séquence suivante :

(1,1) – (1,2) – (3,2) – (3,5) – (8,5) – (8,13) – (21,13) – (21,34) – (55,34) – (55,89) – (144,89) –etc…

Prenons maintenant : div =  0,356035 tour, soit 128°10’ (divergence qui intervient dans la croissance exponentielle étudiée dans les compléments). On obtient :

(1,1) – (1,2) – (3,2) – (3,5) – (3,8) – (3,11) – (3,14) – (17,14) – (31,14) –etc…

 Comparons ces deux séquences ; nous voyons que :

Ø       les deux nombres qui apparaissent dans chaque combinaison sont toujours premiers entre eux ; on peut le prouver facilement grâce à la remarque qui suit :

Ø       chaque combinaison de parastiques s’obtient, à partir de la précédente, en remplaçant l’un des deux termes (tantôt le premier, tantôt le second) par la somme des deux termes ;

Ø       dans la première séquence, on remplace alternativement le premier ou le second terme par la somme des deux, et c’est cette alternance qui fait sortir la suite de Fibonacci. C’est ce que nous appelons le principe de l’alternance stricte. Dans la seconde séquence, ce principe n’est pas respecté ;

Ø       nous pouvons remarquer que les deux suites sont identiques jusqu’à la combinaison (3,5) ; elles se séparent ensuite. Donc une divergence de 128°10’ serait compatible avec certaines observations botaniques (fougère arborescente par exemple), mais elle n’explique pas des combinaisons telles que (8,5) ou (8,13), pourtant très fréquentes, ou, à plus forte raison, (21,13) ou (21,34),  qu’on rencontre chez la carline ou le tournesol.

Inversement, la combinaison des parastiques actuelles apporte une information précieuse sur la divergence de l’hélice (supposée régulière).

Par exemple, si on observe la combinaison (8,5), on peut en déduire l’encadrement suivant :       135° < div < 144° ;

pour (8,13), on trouve :       135° < div < 138°28’ ;

pour  (21,13),  on obtient :  137°8’ < div < 138°28’ ;

pour (21,34) :                    137°8’ < div < 137°39’ ;

 pour   (55,34) :                 137°27’ < div < 137°39’ .

La dernière combinaison se rencontre souvent chez le tournesol ; la divergence correspondante est égale à la section d’or, à moins d’un cinquième de degré   près.