V)             Bases du maillage dynamique

 

a)     Réseaux plans réguliers

Considérons un plan rapporté à un repère cartésien quelconque, orthogonal ou non. Les points qui ont des coordonnées entières dans ce repère forment un réseau (ou treillis) régulier. Ces points sont les nœuds du réseau.

Si nous traçons les parallèles aux axes de coordonnées passant par les nœuds, nous obtenons des parallélogrammes appelés : mailles du réseau. L’angle de maille est l’angle formé par les vecteurs de base.

Si le repère est normé (les deux vecteurs de base ayant la même longueur, prise comme unité), les mailles sont des losanges. Nous disons alors que le réseau est rhombique.

On peut déformer un réseau rhombique de manière continue en faisant varier l’angle de maille.

Lorsque celui-ci est égal à 90°, les mailles sont carrées. Nous parlons alors de réseau carré.

Quand l’angle de maille est égal à 60° ou à 120°, chaque maille peut être partagée en deux triangles équilatéraux ; le réseau est hexagonal.

b)                          Réorganisation des mailles

Alors que les réseaux rhombiques possèdent deux directions privilégiées (parallèles aux axes), le réseau hexagonal en possède trois ; notons-les : d1, d2, d3. On peut dire que le réseau hexagonal est trois fois rhombique . En effet, il y a trois façons de joindre les nœuds de manière à former des losanges de côté égal à 1 : ces losanges sont construits en sélectionnant soit d1 et d2, soit d2 et d3, soit d3et d1 .

Si nous voulons déformer un réseau hexagonal de manière continue, en jouant sur l’angle de maille (mais en conservant le côté des mailles, toujours égal à 1), il est géométriquement impossible qu’il reste hexagonal : il va devenir rhombique, et il peut le faire de trois façons différentes.

c)     Les contraintes fondamentales

Nous avons imposé aux mailles un côté égal à 1 : c’est parce-que nous avons en vue le modèle de van Iterson ; les nœuds correspondent aux centres des disques, dont le diamètre est égal à 1. Ce modèle impose une autre contrainte : la petite diagonale des losanges ne peut pas être inférieure au diamètre des disques, ce qui limite les variations de l’angle de maille entre 60° et 120°.

Ces contraintes autorisent les déformations continues d’un réseau rhombique par le jeu de l’angle de maille ; mais lorsque celui-ci atteint 60° ou 120°, si on veut que le processus continue sans retour en arrière, il est obligatoire de changer de maillage et de continuer avec un autre réseau rhombique : c’est la  transition de maille (qui peut se faire de deux façons différentes).

Par le jeu de l’angle de maille, le réseau rhombique permet de passer d’un arrangement hexagonal à un autre, en passant par la phase carrée.

d)    Densité

La densité d’un réseau rhombique (nombre de nœuds par unité de surface) est maximale quand il est hexagonal, et minimale quand il est carré. Dans la nature, les réseaux statiques sont souvent hexagonaux : c’est l’arrangement qui permet la meilleure économie de place. Mais dans un  système dynamique, l’arrangement hexagonal est instable, et ne peut se réaliser que de manière fugace.