VII)    Etude des branches de Fibonacci

 

Dans le paragraphe précédent, nous avons posé les bases de l’étude des réseaux cylindriques réguliers, d’une manière tout à fait générale ; parmi ces réseaux, une classe particulière a retenu notre attention : il s’agit des réseaux dits “de Fibonacci ” (ou : fibonaciques) . Nous allons reprendre les mêmes notations et les mêmes formules, pour les adapter à ce cas particulier.

Pour construire ces réseaux de Fibonacci, le plus simple est de partir de a = 1 et b = 0 (ce qui correspond à des nœuds alignés parallèlement à l’axe du cylindre, sur une génératrice) ; ou, si on préfère (c’est ce que nous ferons) de a = 1 et b = 1 (ce qui correspond à la disposition alterne-distique). Nous prendrons c = 0 et d = 1, pour avoir : a.d – b.c = 1. Rappelons que le couple (c, d) est défini modulo (a, b).

Ensuite, par paliers successifs (changements de mailles) nous allons remplacer, alternativement :

§        soit b par a + b et d par c + d ;

§        soit a par a + b et c par c + d.

C’est ce que nous avons appelé l’ “alternance stricte”.

Les nombres a, b, c et d vont donc parcourir la suite F de Fibonacci.

Nous obtenons le tableau suivant :

 

Branche de gauche

Branche de droite

n

F(n)

a

b

c

d

c/a

d/b

a

b

c

d

c/a

d/b

1

1

1

1

0

1

0,0000

1,0000

1

1

0

1

0,0000

1,0000

2

1

1

2

0

1

0,0000

0,5000

2

1

1

1

0,5000

1,0000

3

2

3

2

1

1

0,3333

0,5000

2

3

1

2

0,5000

0,6667

4

3

3

5

1

2

0,3333

0,4000

5

3

3

2

0,6000

0,6667

5

5

8

5

3

2

0,3750

0,4000

5

8

3

5

0,6000

0,6250

6

8

8

13

3

5

0,3750

0,3846

13

8

8

5

0,6154

0,6250

7

13

21

13

8

5

0,3810

0,3846

13

21

8

13

0,6154

0,6190

8

21

21

34

8

13

0,3810

0,3824

34

21

21

13

0,6176

0,6190

9

34

55

34

21

13

0,3818

0,3824

34

55

21

34

0,6176

0,6182

10

55

55

89

21

34

0,3818

0,3820

89

55

55

34

0,6180

0,6182

11

89

144

89

55

34

0,3819

0,3820

89

144

55

89

0,6180

0,6181

12

144

144

233

55

89

0,3819

0,3820

233

144

144

89

0,6180

0,6181

Dans la branche de gauche :

Pour n pair :     a = F(n+1),       b = F(n),     c = F(n),      d = F(n-1)

Pour n impair : a = F(n),   b = F(n+1),         c = F(n-1),      d = F(n)

Dans la branche de droite :

Pour n pair :     a = F(n),       b = F(n+1),     c = F(n-2),      d = F(n-1)

Pour n impair : a = F(n+1),   b = F(n),         c = F(n-1),      d = F(n-2)

Pour chaque valeur de n, on reprend les formules générales, et on remplace a, b, c, d  par les valeurs correspondantes , puis on fait varier α  de 120° à 60°. Ceci permet de réaliser des simulations sur ordinateur.

Les formules adaptées se présentent ainsi :

En remplaçant α  par 120° ou 60°, on obtient les seuils de transition de maille :

seuils de transition

p

e

div (gauche)

div (droite)

N=1 à N=2

1,732

0,500

180,0

180

N=2 à N=3

2,646

0,327

128,6

231,4

N=3 à N=4

4,359

0,199

142,1

217,9

N=4 à N=5

7,000

0,124

135,9

224,1

N=5 à N=6

11,358

0,076

138,1

221,9

N=6 à N=7

18,358

0,047

137,3

222,7

N=7 à N=8

29,715

0,029

137,6

222,4

N=8 à N=9

48,073

0,018

137,5

222,5

N=9 à N=10

77,789

0,011

137,5

222,5

N=10 à N=11

125,861

0,007

137,5

222,5

N=11 à N=12

203,649

0,004

137,5

222,5

Connaissant le périmètre à un instant donné, on peut savoir facilement dans quelle phase se trouve le réseau, ce qui permet de connaître les valeurs de a, b, c, d, et de calculer l’angle de maille, l’entrenœud et la divergence.

On peut voir que la divergence se rapproche très vite de la section d’or : pour un périmètre de sept mailles, la différence (1,6°) est à peine perceptible à l’œil nu. (On entre alors dans la phase (8, 5), si fréquente, par exemple, chez les conifères.)

Cette figure représente un cylindre déroulé, sur lequel des disques sont disposés en hélice régulière. Ces disques sont numérotés de bas en haut. On peut observer  5 parastiques directes et 3 parastiques rétrogrades. Dans chaque parastique directe, la différence entre deux nombres successifs est égale à 5 ; dans chaque parastique rétrograde, elle est égale à 3.

Pour voir une animation complétant la figure ci-dessus, visionnez l'applet 3 (maillage cylindrique avec numérotation) dans le chapitre XI.

Les simulations sur ordinateur permettent d’observer le comportement des mailles : au cours de chaque phase, elles sont comprimées selon une direction un peu inclinée par rapport à l’axe du cylindre ; cette inclinaison change d’orientation à chaque transition de maille, tout en s’amortissant rapidement.

Si nous suivons une série de points : P0, P1, P2, P3, P4,  …, qui, à la phase 0, étaient alignés dans cet ordre parallèlement à l’axe du cylindre, nous constatons qu’ils prennent des chemins différents, et tendent à se répartir sur un cercle horizontal de diamètre croissant. Mais ils se disposent sur ce cercle selon un ordre totalement différent de l’ordre initial, puisque l’écart angulaire entre deux points successifs tend vers la section d’or.

Cet ordre si particulier est celui que nous avons déjà rencontré en observant les rosettes.

 

Pour voir une animation complétant la figure ci-dessus, visionnez l'applet 4 (maillage cylindrique avec parastiques).

Une autre applet interactive très importante vous permettra de mieux comprendre comment l'alternance stricte conduit à l'angle d'or. (Après avoir ouvert la page,repérez le carré rouge qui sert à lancer l'applet, puis les deux carrés bleus qui servent à choisir le sens de basculement.) Il s'agit de l'applet 8 (maillage cylindrique interactif).

Nous proposons aussi une applet dans laquelle les disques sont remplacés par des bâtons (ou des "fibres") dont la longueur croît. Cette applet, très différente de la précédente en apparence, est basée sur le même algorithme, qui s'appuie sur la suite de Farey. C'est l'applet 9 (maillage ctlindrique par croissance des fibres).